2024학년도 대학수학능력시험 수학영역 22번 풀이과정(현실적으로+솔직후기)

올해 수능에서 수학영역 22번이 핫하다는 소식을 듣고 바로 문제를 풀어보았다.

과연 얼마나 어려울까? 아니면 뭐가 말썽일까? 두근두근대며 접근했다ㅎㅎ

그래서 나는 이 문제를 풀면서 내가 했던 생각을 바탕으로 풀이과정을 서술해보려한다.

첫 번째, 문제에서 제시한 조건 살펴보기

- 1. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수

- 2. f(k-1)f(k+1)<0을 만족하는 정수 k는 존재하지 않는다.

 

여기서 포인트는 두 번째 조건이다. 그리고 정수 k에 초점을 맞추었다.

 

"보통 이런 유형의 문제는 그래프를 그려보면서 하나씩 맞춰나가기에 아무래도 시간이 많이 소모될 수 밖에 없다.

그러니 모든 문제를 다 풀고나서 접근해보는 것이 안전하다고 생각했다."

 

처음에는 이런 저런 그래프를 다 그려보았다.

"3차 함수는 이러한 유형들이 있는데 여기서 두 번째 조건에 맞는 그래프는 무엇일까?"

 

그러고는 조건을 다시 살펴보았다.

두 번째 조건을 뒤집어보면 이렇게 생각해도 되었던 것 같다.

- f(k-1)f(k+1)<0을 만족하는 정수 k는 존재하지 않는다.

=> 정수 k는 f(k-1)f(k+1)>=0을 항상 만족한다.

 

x=k를 기준으로 양쪽 함숫값의 곱은 항상 0이상이어야 한다.

 

그렇다면 오른쪽 두 개의 유형은 아웃이다.

해를 기준으로 두 번째 조건을 절대 만족할 수 없기 때문이다.

 

지금부터 생각을 잘해야 했다.

"정수 k라는 단서를 활용해야한다."

일단 부호가 변하지 않는 구간 사이 간격이 2 가 되어야 한다.

예를 들어 f(0)과 f(2), f(-1)과 f(1) 이런식으로 비교해야 한다.

 

하지만 이것으로는 조건이 부족하기에 마지막 조건을 살펴보았다.

이는 삼차함수 f(x)에서 x가 -1/4일 때, 1/4일 때 기울기가 모두 음수라는 말이다.

이러한 조건을 만족하는 부분은 다음과 같다.

위의 조건을 만족하는 구간

그렇다는 말은 저 구간 사이에 x=0이 존재한다는 말이다.

"아하! 함수 f(x)는 x=0 주위에서 형성된 함수구나!"

 

나는 여기서 그래프 모형을 추측하기 위해 k에 0 부근의 숫자를 대입하면서 찾아갔다.

일단 x=0에서 해가 양수, 음수, 0일 경우가 있다.

 

x=0에서 해가 양수라면 x=-2일 때 해가 양수나 0이어야만 한다.

그러나 위의 경우처럼 x=-2에서 해는 음수가 될 수 밖에 없다.

(만약, x=-2에서 해가 양수인 구간이 있다고 해도 해가 음수인 구간에 x=-4, -6등등 무조건 해가 음수인 곳이 나오기 때문에

두 번째 조건에 위배가 된다.)

 

x=0에서 해가 음수라면 위의 상황과 유사하다. 이번엔 x가 양수인 구간에서 두 번째 조건을 위배하게 된다.

 

"그렇다면 x=0에서 해는 0이 되어야만 한다! 이게 결론이다!"

 

그리고 f(k-1)f(k+1)>=0이기 위해서는 x=1 또는 x=-1에서 함숫값이 0이 되어야한다.

그렇지 않으면 아래와 같은 상황이 되어 두 번째 조건에 위배가 된다.(아래경우 외에도 다양하지만 모두 확인했음)

 

이 과정에서 상당한 시간이 소요되었을 것으로 예상된다.

 

그러므로 경우의 수는 2가지로 축소된다.

① f(x)=x(x+1)(x+a)

② f(x)=x(x-1)(x+a)

이제 간단하다.

3번째 조건을 그대로 대입하면 된다.

 

①에 조건을 대입했을 때 a=1/8

②에 조건을 대입했을 때 a=5/8

 

그러고 f'(1/4)<0을 만족하는 것은 바로  ② f(x)=x(x-1)(x+a)

 

"이렇게 f(x)=x(x-1)(x+5/8)임이 도출된다."

 

따라서, f(8)=483이다.

솔직후기)

지금에야 나는 수능 현장이 아닌 곳에서 풀이를 하니까 차분히 풀 수 있지만 솔직히 실제 수능현장에서 최소 30분정도는 시간이 남았다면 풀 수 있을 것 같다. 하지만 이는 그래프를 그릴 수 있다는 교육과정에 위배되지 않으며, 교과과정으로 충분히 풀이할 수 있는 문제라고 생각이 들었다.  수능준비를 하면서 수없이 많은 삼차함수 그래프를 그려봤다면 시간이 20분 정도 남았다는 전제 아래에 잘 풀어낸 학생들이 분명 있을 것 같다.

 

혹여 풀지 못했더라도 많은 학생들이 풀이하는데 어려움을 겪었을 것 같아 너무 큰 걱정은 하지 않았으면 좋겠다.

모두가 최선을 다해 달려왔기에 진심으로 응원합니다:)

 

모두 고생하셨습니다 뒷일은 잠시 잊고 즐기시길 바랍니다!!

감사합니다:)